三角形的重心、重心、外心、內(nèi)心的定義和性質(zhì)是什么？

關(guān)于三角形的重心、重心、外心、內(nèi)心的定義和性質(zhì)是什么？這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、一、三角形的外心定義：三角形的外心是三角形三條垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)(或三角形外接圓的圓心) 。

2、性質(zhì)：1.三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合。

3、3.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點(diǎn)重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R二、三角形的內(nèi)心定義：三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)(或內(nèi)切圓的圓心)。

4、性質(zhì)：1.三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心2.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內(nèi)切圓半徑)三、三角形的垂心定義：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn)(通常用H表示)。

5、性質(zhì)：1.銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心3. 垂心O關(guān)于三邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，均在△ABC的外接圓圓上。

6、4.△ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5. H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱(chēng)這樣的四點(diǎn)為一—垂心組)。

7、6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。

8、7.在非直角三角形中，過(guò)O的直線(xiàn)交AB、AC所在直線(xiàn)分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。

9、9.設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10、10.銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。

11、11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。

12、（施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時(shí)期由海倫發(fā)現(xiàn)）12.西姆松(Simson)定理（西姆松線(xiàn)）：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線(xiàn)的垂足共線(xiàn)的重要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上13.設(shè)銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

13、14.設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。

14、15.三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線(xiàn)。

15、四、三角形的重心定義：三角形的重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)。

16、性質(zhì)：1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

17、2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

18、3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

19、4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)的任意一條連線(xiàn)將三角形面積平分。

20、6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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